【高校化学基礎】10の累乗と指数計算【授業図鑑】
高校の化学基礎では、原子や分子のような非常に小さな粒子から、１molに含まれる粒子のような非常に大きな数まで扱います。
そのため、10の累乗を使った表し方と計算は、物質量や濃度を学ぶための大切な土台です。
今回の記事では、有効数字の表し方から10の累乗、指数法則、指数を含む掛け算・割り算まで、初めて授業を担当する方にも進めやすい順序で紹介します。
有効数字の表し方から始める
前回の記事では、測定値を次の形で表すことを確認しました。
a × 10ⁿ （１≦ a ＜ 10、nは整数）
例えば、8300を有効数字２桁で表すと 8.3 × 10³ です。
この表し方には、有効数字の桁数を明確にできることに加え、大きな数や小さな数を簡潔に書ける利点があります。
- 3.14：有効数字３桁
- 0.082：有効数字２桁
- 8.3 × 10³：有効数字２桁
指数計算だけを独立して教えるより、「測定値を分かりやすく表すために10の累乗を使う」と位置付けると、化学で学ぶ意味が伝わりやすくなります。
前回の記事：【高校化学基礎】測定値の扱い方と有効数字を考慮した計算【授業図鑑】
10の累乗は数直線で捉える
まず、10の累乗が表す数を並べます。
数直線上では、右へ一つ進むたびに10倍、左へ一つ進むたびに1/10になります。
したがって、指数は右へ進むと１増え、左へ進むと1減ります。
ここでは、10⁰＝１を基準に置くことがポイントです。
また、10⁻²は「マイナス100」ではなく 1/10² であることも確認します。
指数法則は具体例から導く
指数法則を最初から暗記させるのではなく、まず普通の数で確かめます。
100 × 1000 ＝ 100000
10² × 10³ ＝ 10⁵
10を掛け合わせる個数を考えると、掛け算では指数を足せばよいことが分かります。
同様に、割り算では指数を引きます。
10ⁿ × 10ᵐ ＝ 10ⁿ⁺ᵐ
10ⁿ ÷ 10ᵐ ＝ 10ⁿ⁻ᵐ
（10ⁿ）ᵐ ＝ 10ⁿᵐ
例えば、10⁴ ÷ 10³＝10¹です。
分子と分母にある10を３つずつ消すと10が一つ残るため、「指数を引く」という操作の意味が見えてきます。
係数と10の累乗を分けて計算する
a × 10ⁿ の形どうしを計算するときは、「係数」と「10の累乗」を別々に扱います。
（a × 10ⁿ）×（b × 10ᵐ）＝ ab × 10ⁿ⁺ᵐ
（a × 10ⁿ）÷（b × 10ᵐ）＝ a/b × 10ⁿ⁻ᵐ
板書では、係数を丸で囲み、10の累乗を四角で囲むなど、見た目で２つに分けると計算の流れが伝わりやすくなります。
掛け算の進め方
基本の例を見てみましょう。
（3.0 × 10³）×（1.5 × 10⁴）
＝（3.0 × 1.5）× 10³⁺⁴
＝ 4.5 × 10⁷
係数を掛け、指数を足せば計算できます。
ただし、係数が１以上10未満にならない場合は、最後に基本形へ直します。
（2.0 × 10³）×（6.0 × 10²³）
＝12 × 10²⁶
＝ 1.2 × 10²⁷
12を1.2にするため係数を1/10にした分、10の累乗を10倍して指数を１増やします。
数全体の大きさを変えずに、係数と指数を逆向きに調整することを示すのがポイントです。
負の指数を含む場合も、手順は同じです。
（5.0 × 10⁻³）×（8.0 × 10⁻⁴）
＝40 × 10⁻⁷
＝ 4.0 × 10⁻⁶
割り算の進め方
割り算では、係数を割り、分母の指数を引きます。
（8.0 × 10⁵）÷（4.0 × 10³）
＝（8.0 ÷ 4.0）× 10⁵⁻³
＝ 2.0 × 10²
係数が１未満になった場合も、最後に基本形へ直します。
（3.6 × 10²¹）÷（6.0 × 10²³）
＝0.60 × 10⁻²
＝ 6.0 × 10⁻³*
0.60を6.0にするため係数を10倍した分、10の累乗を1/10にして指数を1減らします。
負の指数では符号の処理にも注意します。
（7.2 × 10⁻⁵）÷（2.4 × 10²）
＝3.0 × 10⁻⁵⁻²
＝ 3.0 × 10⁻⁷
「−5−2＝−7」のように、分母の指数全体を引いていることを途中式に残すと、符号の間違いを減らせます。
授業で押さえたい四つのポイント
１．10⁰＝1を基準にする
正の指数から負の指数へ規則を延ばすときは、数直線を使い、10倍と1/10を繰り返します。
負の指数を「負の数」と混同する生徒にも有効です。
２．係数と10の累乗を分ける
係数は通常の掛け算・割り算、10の累乗は指数法則で計算します。
色や囲み方を変えると、どの数どうしを計算するのかが明確になります。
３．基本形へ直すのは最後にする
途中で小数点と指数を何度も動かすと、符号や桁を間違えやすくなります。
まず係数と指数を計算し、最後に １ ≦ a ＜ 10 へ整えます。
４．有効数字も最後に確認する
掛け算・割り算の答えは、もとの測定値のうち有効数字の桁数が最も少ないものに合わせます。
指数の計算が正しくても、係数の桁数を整え忘れないようにします。
まとめ
指数を含む掛け算・割り算は、次の順序で整理できます。
係数を計算する → 指数を計算する → 基本形へ直す → 有効数字を確認する
指数法則だけを暗記するのではなく、10倍・1/10という数の変化や、係数と指数の役割を分けて示すことで、物質量や濃度の計算にもつながる基礎をつくれます。
10の累乗や指数計算の授業づくりにお困りの先生へ
指数計算は、数学の復習だけで終わらせず、原子・分子の大きさ、アボガドロ定数、物質量、濃度など、これから学ぶ化学の内容へつなげることが大切です。
一方、負の指数や小数点の移動でつまずく生徒も多く、板書の順序や例題の選び方によって理解のしやすさが変わります。
SFB科学教育デザインラボの「先生のための理科授業づくり相談室」では、授業の流れ、導入、問いかけ、板書、プリントなどを、目の前の生徒の状況に合わせて一緒に整理します。
初めて担当する単元や、専門外の内容についてのご相談も歓迎しています。
